Raadsel op honderdveld

Honderdveld en som van getallen in pentomino
Het idee kregen we van Victor Stok

Bepalen van de som van 5 getallen uit het honderdveld die in vierkanten staan die een pentomino vormen.

In het voorbeeld is de som van de 5 getallen: 2 + 11 + 12 + 13 + 22 = 60

We kunnen de F-pentomino op 8 verschillende standen op het honderdveld plaatsen.

x - 10 + x - 9 + x - 1 + x + x + 10 = 5x - 10

x - 11 + x - 10 + x + x + 1 + x + 10 = 5x - 10

Sommen: alle vijfvouden van 50 tot en met 435

x - 10 + x + x + 1 + x + 9 + x +10 = 5x +10

x - 10 + x - 1 + x + x + 10 + x + 11 = 5x +10

Sommen: alle vijfvouden van 70 tot en met 455

x - 10 + x - 1 + x + x + 1 + x + 11 = 5x + 1

x - 9 + x - 1 + x + x + 1 + x + 10 = 5x + 1

Sommen zijn vijfvouden+1
61, 66, 71, 76, 81, 86, 91, 96,
111,116,121,126,131,136,141,146,
161,166,171,176,181,186,191,196,
211,216,221,226,231,236,241,246,
261,266,271,276,281,286,291,296,
311,316,321,326,331,336,341,346,
361,366,371,376,381,386,391,396,
411,416,421,426,431,436,441,446

x - 11 + x - 1+ x + x + 1 + x +10 = 5x - 1

x - 10 + x - 1 + x + x + 1 + x + 9 = 5x - 1

Sommen zijn vijfvouden+4
59, 64, 69, 74, 79, 84, 89, 94,
109,114,119,124,129,134,139,144,
159,164,169,174,179,184,189,194,
209,214,219,224,229,234,239,244,
259,264,269,274,279,284,289,294,
309,314,319,324,329,334,339,344,
359,364,369,374,379,384,389,394,
409,414,419,424,429,434,439,444

We kunnen de I-pentomino op 2 verschillende standen op het honderdveld plaatsen.

x - 2 + x - 1 + x + x + 1 + x + 2 = 5x

x - 20 + x - 10 + x + x + 10 + x + 20 = 5x

Sommen: zijn vijfvouden
15,20,25,30,35,40
65,70,75,80,85,90
alle vijfvouden van 105 tot en met 400,
415,420,425,430,435,440
465,470,475,480,485,490

We kunnen de L-pentomino op 8 verschillende standen op het honderdveld plaatsen.

x - 1 + x + x + 10 + x + 20 + x + 30 = 5x + 59

x - 30 + x - 20 + x - 10 + x + x - 1 = 5x - 61

x - 10 + x - 3 + x - 2 + x - 1 + x = 5x - 16

x - 3 + x - 2 + x - 1 + x + x + 10= 5x + 4

Sommen zijn vijfvouden+4 van 24 tot en met 484

x - 30 + x - 20 + x - 10 + x + x + 1 = 5x - 59

x + x + 1 + x + 10 + x + 20 + x + 30 = 5x + 61

x + x + 1 + x + 2 + x + 3 + x + 10 = 5x + 16

x - 10 + x + x + 1 + x + 2 + x + 3= 5x - 4

Sommen zijn vijfvouden+1 van 21 tot en met 481

We kunnen de N-pentomino op 8 verschillende standen op het honderdveld plaatsen.

x - 11 + x - 10 + x + x +1 + x + 2 = 5x - 18

x - 20 + x - 10 + x + x + 1 + x + 11 = 5x - 18

x - 9 + x + x + 1 + x + 10 + x + 20 = 5x + 22

x + x + 1 + x + 2 + x + 9 + x + 10= 5x + 22

Sommen zijn vijfvouden+2 van 32 tot en met 472

x - 20 + x - 10 + x - 1 + x + x + 9 = 5x - 22

x - 10 + x - 9 + x - 2 + x - 1 + x = 5x - 22

x - 2+ x - 1 + x + x + 10 + x + 11 = 5x + 18

x - 11 + x - 1 + x + x + 10 + x + 20 = 5x + 18

Sommen zijn vijfvouden+3 van 33 tot en met 473

We kunnen de P-pentomino op 8 verschillende standen op het honderdveld plaatsen.

x - 11 + x - 10 + x - 2 + x - 1 + x = 5x - 24

x - 2 + x - 1 + x + x + 9 + x + 10 = 5x + 16

Sommen zijn vijfvouden+1 van 31 tot en met 476

x - 20 + x - 10 + x - 9 + x + x + 1 = 5x - 38

x + x + 1 + x + 10 + x + 11 + x + 20 = 5x + 42

Sommen zijn vijfvouden+2 van 47 tot en met 457

x - 1 + x + x + 9 + x + 10 + x + 20 = 5x + 38

x - 20 + x - 11 + x - 10 + x - 1 + x = 5x - 42

Sommen zijn vijfvouden+3 van 48 tot en met 458

x + x + 1 + x + 2 + x + 10 + x + 11= 5x + 24

x - 10 + x - 9 + x + x + 1 + x + 2 = 5x - 16

Sommen zijn vijfvouden+4 van 29 tot en met 474

We kunnen de T-pentomino op 4 verschillende standen op het honderdveld plaatsen.

x - 1 + x + x + 1 + x + 10 + x + 20 = 5x + 30

x - 20 + x - 10 + x - 1 + x + x + 1 = 5x - 30

Sommen zijn vijfvouden
30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65,
80, 85, 90, 95,100,105,110,115,
130,135,140,145,150,155,160,165
180,185,190,195,200,205,210,215
230,235,240,245,250,255,260,265,
280,285,290,295,300,305,310,315
330,335,340,345,350,355,360,365
380,385,390,395,400,405,410,415
430,435,440,445,450,455,460,465

x - 10 + x - 2 + x - 1 + x + x + 10 = 5x - 3
Sommen zijn vijfvouden+2
62, 67, 72, 77, 82, 87, 92, 97,
112,117,122,127,132,137,142,147,
162,167,172,177,182,187,192,197,
212,217,222,227,232,237,242,247,
262,267,272,277,282,287,292,297,
312,317,322,327,332,337,342,347,
362,367,372,377,382,387,392,397,
412,417,422,427,432,437,442,447

x - 10 + x + x + 1 + x + 2 + x + 10 = 5x + 3
Sommen zijn vijfvouden+3
58, 63, 68, 73, 78, 83, 88, 93,
108,113,118,123,128,133,138,143,
158,163,168,173,178,183,188,193,
208,213,218,223,228,233,238,243,
258,263,268,273,278,283,288,293,
308,313,318,323,328,333,338,343,
358,363,368,373,378,383,388,393,
408,413,418,423,428,433,438,443

We kunnen de U-pentomino op 4 verschillende standen op het honderdveld plaatsen.

x - 11 + x - 9 + x - 1 + x + x + 1 = 5x - 20

x - 1 + x + x + 1 + x + 9 + x + 11 = 5x + 20

Sommen zijn vijfvouden van 30 tot en met 475

x - 10 + x - 9 + x + x + 10 + x + 11 = 5x + 2
Sommen zijn vijfvouden+2
57, 62, 67, 72, 77, 82, 87, 92, 97,
107,112,117,122,127,132,137,142,147,
157,162,167,172,177,182,187,192,197,
207,212,217,222,227,232,237,242,247,
257,262,267,272,277,282,287,292,297,
307,312,317,322,327,332,337,342,347,
357,362,367,372,377,382,387,392,397,
407,412,417,422,427,432,437,442,447

x - 11 + x - 10 + x + x + 9 + x + 10 = 5x - 2
Sommen zijn vijfvouden+3
58, 63, 68, 73, 78, 83, 88, 93,98,
108,113,118,123,128,133,138,143,148,
158,163,168,173,178,183,188,193,198,
208,213,218,223,228,233,238,243,248,
258,263,268,273,278,283,288,293,298,
308,313,318,323,328,333,338,343,348,
358,363,368,373,378,383,388,393,398,
408,413,418,423,428,433,438,443,448

We kunnen de V-pentomino op 4 verschillende standen op het honderdveld plaatsen.

x - 2 + x - 1 + x + x + 10 + x + 20 = 5x + 27

x - 20 + x - 10 + x - 2 + x - 1 + x = 5x - 33

Sommen zijn vijfvouden+2 van 42 tot en met 467

x - 20 + x - 10 + x + x +1 + x + 2 = 5x - 27

x + x + 1 + x + 2 + x + 10 + x + 20 = 5x + 33

Sommen zijn vijfvouden+3 van 38 tot en met 463

We kunnen de W-pentomino op 4 verschillende standen op het honderdveld plaatsen.

x - 11 + x - 10 + x + x +1 + x + 11 = 5x - 9

x - 9 + x + x + 1 + x + 9 + x + 10 = 5x + 11

Sommen zijn vijfvouden+1 van 51 tot en met 456

x - 11 + x - 1 + x + x + 10 + x + 11 = 5x + 9

x - 10 + x - 9 + x - 1 + x + x + 9 = 5x - 11

Sommen zijn vijfvouden+4 van 49 tot en met 454

De X-pentomino heeft maar 1 stand op het honderdveld (met dank aan alle symmetrie)

Sommen zijn de vijfvouden:
60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95,
110,115,120,125,130,135,140,145,
160,165,170,175,180,185,190,195,
210,215,220,225,230,235,240,245,
260,265,270,275,280,285,290,295,
310,315,320,325,330,335,340,345,
360,365,370,375,380,385,390,395,
410,415,420,425,430,435,440,445

We kunnen de Y-pentomino op 8 verschillende standen op het honderdveld plaatsen.

x - 10 + x + x + 1 + x + 10 + x + 20 = 5x + 21

x - 20 + x - 10 + x + x + 1 + x + 10 = 5x - 19

Sommen zijn vijfvouden+1 van 76 tot en met 426

x - 10 + x - 1 + x + x + 1 + x + 2 = 5x - 8

x - 1 + x + x + 1 + x + 2 + x + 10 = 5x + 12

Sommen zijn vijfvouden+2 van 22 tot en met 482

x - 2 + x - 1 + x + x + 1 + x + 10 = 5x + 8

x - 10 + x - 2 + x - 1 + x + x + 1 = 5x - 12

Sommen zijn vijfvouden+3 van 23 tot en met 483

x - 20 + x - 10 + x - 1 + x + x + 10 = 5x - 21

x - 10 + x - 1 + x + x + 10 + x + 20 = 5x + 19

Sommen zijn vijfvouden+4 van 79 tot en met 429

We kunnen de Z-pentomino op 4 verschillende standen op het honderdveld plaatsen maar elke stand leidt hetzelfde vijfvoud
.
x-11 + x-10 + x + x+10 + x+11 = x-10 + x-9 + x + x+9 + x+10 = x-9 + x-1 + x + x+1 + x+9 = x-11 + x-1 + x + x+1 + x+11 = 5x
Sommen zijn de vijfvouden: (dezelfde als bij de X-pentomino)
60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95,
110,115,120,125,130,135,140,145,
160,165,170,175,180,185,190,195,
210,215,220,225,230,235,240,245,
260,265,270,275,280,285,290,295,
310,315,320,325,330,335,340,345,
360,365,370,375,380,385,390,395,
410,415,420,425,430,435,440,445

Van Victor Stok (de maker van deze puzzel) kregen we de vraag:"Bestaat er een getal dat met alle 12 de pentomino�s te halen is?"
We maken een overzicht:

Som	Pentomino
5-voud	F, I, T, U, X, Z
5-voud+1	F, L, P, W, Y
5-voud+2	N, P, T, U, V, Y
5-voud+3	N, P, T, U, V, Y
5-voud+4	F, L, P, W, Y

Voorbeeld: 337 = 5-voud+2

5x-18 = 337 x = 71 60+61+71+72+73=337 Dit kan echter niet in het honderdveld	5x-18 = 337 x = 71 51+61+71+72+82=337	5x+22=337 x=63 54+63+64+73+83=337	5x+22=337 x=63 63+64+65+72+73=337
5x-38 = 337 x = 75 55+65+66+75+76=337	5x+42 = 337 x = 59 59+60+69+70+79=337	5x-3 = 337 x = 68 58+66+67+68+78=337	5x+2 = 337 x = 67 57+58+67+77+78=337
5x+27 = 337 x = 62 60+61+62+72+82=337 Dit kan echter niet in het honderdveld	5x-33 = 337 x = 74 54+64+72+73+74=337	5x-8 = 337 x = 69 59+68+69+70+71=337 Dit kan echter niet in het honderdveld	5x+12 = 337 x = 65 64+65+66+67+75=337

Commentaar is steeds welkom