Records Wedstrijd 50

Oplossingen van de opgave van Aad Thoen : pentomino-eilandjes
Van Aad Thoen kregen we een oplossing van 110.


Dit resultaat kan met 1 eenheid verbeterd worden. Het bewijs gekregen van Frank Tinkelenberg en Helmut Postl vind je hieronder.

Oplossing van Frank Tinkelenberg (109)
Hij mailde: "Ik kan beredeneren dat het minimum van blokjes water 108 moet zijn; maar het is me niet gelukt die ook te vinden."
Omgeschreven rechthoek is 12x15

Hier volgt Frank zijn redenering dat 108 het theoretisch minimum is:
Teken rondom elke pentomino een waterrand ter grootte van een half blokje.

 Oppervlak van blokjes + water blijkt 11 x 12 (5 pento + 7 water) + 11  van P-pentomino(5 pento + 6 water).
Dit water is verplicht om aan de regel te voldoen dat elke pentomino omringd wordt door water.

Met deze omrande stukken kun je puzzelen net als met gewone pentomino's en het resultaat is altijd een zee met pentomino's zoals bedoeld in de opgave.
Uiteraard is de waterrand aan de buitenkant dan te smal. Er moet aan alle kanten nog een randje ter grootte van een half blokje bij. Het oppervlak van dat randje is alleen afhankelijk van de grootte van de omgeschreven rechthoek.
 Dit geldt ook als er in de hoeken openingen zijn, maar niet als er in de zijkant nog openingen zijn, dan is er meer water nodig.

Oppervlakte van de waterrand= lb-(l-1)(b-1) = lb-(lb-b-l+1)=lb-lb+b+l-1=b+l-1

De totale wateroppervlakte kunnen we nu berekenen:
83 (rondom de pentomino's = 7 x 11 + 6) + breedte + lengte -1

We zoeken nu een rechthoek met zo klein mogelijke omtrek, maar groot genoeg om alle omrande stukken te bevatten.
Ideale kandidaten blijken 12x14 of 13x13. Lengte + breedte = 26. Totale wateroppervlak is 83 + 26 - 1 = 108.
De 12x14 is dan helemaal gevuld, de 13x13 houdt dan nog 1 vakje open, waarschijnlijk in een hoek.

Frank: "Ik heb beide kandidaten uitgebreid geprobeerd, zonder een oplossing te vinden. Ik zie echter ook geen reden waarom het onmogelijk is!
Let wel: mijn redenering zegt dat een oplossing met minder dan 108 niet kan bestaan, maar niet dat 108 wel moet bestaan; het is prima mogelijk dat 109 wel degelijk de beste oplossing is."

Helmut Postl: "I was able to prove that 109 is the minimum."
Toen we hiervoor meer uitleg vroegen mailde hij: "Yes, the proof is correct. I did it also this way. Then I continued as follows:
Assume that there is a pattern with 108. Then, as stated correctly, the pattern must be either a 12x14 rectangle or a 13x13 square with a hole. And this hole must lie in a corner, otherwise the water perimeter (of width ½) is not of shortest possible length. Now omit the water edge – this gives a 11x13 rectangle resp. a 12x12 square with a corner hole – and try to fill in the extended polyominoes of size 12 resp. 11 (for example, use Aad’s Flatpoly). You will soon see that they will not fit. That’s it."

Wil je ons .fpo van de extended pentominoes, klik dan op het onderstaande logo.

Opslaan en openen vanuit FlatPoly
Het schitterend programma “FlatPoly2” kun je downloaden op de homepagina van Aad van de Wetering, Driebruggen.
http://home.wxs.nl/~avdw3b/aad.html


Opmerking: zijn de pentomino's en hun overeenkomstige uitbreidingen gelijkvormige figuren?
We leggen het uit voor de P-pento

We zien dus dat de overeenkomstige zijden niet evenredig zijn !

 Oplossingen van Bob Henderson: 109 eenheden voor de zee
De omgeschreven rechthoek is telkens 13x14




Oplossing van Dario Uri (109)
Omgeschreven rechthoek 13x14


Oplossing van Aad van de Wetering (109)
Omgeschreven rechthoek 13x14


Oplossing van Helmut Postl (109)


Oplossingen van Peter Jeuken
Peter mailde: "Voor mijn oplossing van het pentomino-eilandjes probleem ben ik uitgegaan van de 16x11 oplossing van Tamme Afman bij potpourri 11. Door te schuiven met de pentomino's N, P en U kwam ik uit op een zee van 111 eenheden."

En dan kregen we een tweede oplossing: " Mijn laptop heeft 6 dagen en 6 nachten onafgebroken gezocht naar de oplossing met 109 blauwe vakjes. Vandaag stonden er ineens twee oplossingen op het scherm. De eerste staat hieronder. De tweede is bijna gelijk. Alleen is de 'U' 180 graden gedraaid."

De tweede oplossing kan je hierboven vinden bij Helmut.

Bij vaststelling van fouten of onvolledigheid, mail naar:
o.d.m@fulladsl.be